Partie 1

On donne `ln(1,3) approx 0,26` et `ln(1,4) approx 0,34`

Soit `u` la fonction définie sur `]0,+infty[` par `u(x)= x^2 -2+lnx `

1) Etudier les variations de la fonction `u` et préciser ces limites en `0` et en `+infty `

2a) Montrer que l'équation `u(x)= 0` admet une solution unique `alpha ` sur l intervalle `]0,+infty[`

b) Vérifier que ` 1, 3 < alpha < 1,4 `

3) Déterminer le signe de `u(x)` suivant les valeurs de `x`

4) Vérifier que ` lnalpha = 2-alpha^2`

Partie 2

Soit `f` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= sqrt(x^2+(2-lnx)^2) `

1) a) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` , `lim_{ x to +infty} f(x) ` , ` f(alpha) `

b) Montrer que `lim_{ x to +infty} (lnx)^2/x = 0 `

c) Etudier les branches infinies de la courbe `C_f `

d) Exprimer `f'(x)` en fonction de `u(x) ` pour tout ` x > 0 `

2) En déduire les variations de `f` sur `]0,+infty[` puis dresser le tableau des variations

Partie 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` on note :

1) `(Gamma)` la courbe représentative de la fonction ` ln `

2) ` A ` le point de coordonnées `(0,2)`

3) ` M ` le point de `(Gamma)` d'abscisse ` x in ]0,+infty[`

1) a) Tracer un schéma convenable de `(Gamma)` , `A` et `M`

b) Montrer que la distance `AM` est donnée par `AM= f(x) `

2a) Montrer que la distance `AM` est minimale en un point de `(Gamma)` , noté `P` dont on précisera les coordonnées

b) Montrer que ` AP = alphasqrt(1+alpha^2)`

3) la droite `(AP)` est elle perpendiculaire à la tangente `(Gamma)` au point `P` ? justifier